گروه ریاضی منطقه میمه

تمركز اصلي نظريه اعداد بر اعداد صحيح ، خواص  هر عدد،  طبقات و انواع اعداد، و روابط  بين آنها است.  

اعداد صحيح مثبت 1، 2، 3، 4، 5، .... كه براي سنجش و شمارش بكار مي رود اعداد طبيعي نام دارد و  نشانه آن حرف  N  مخفف كلمه Natural به معناي طبيعي است. 

اعداد اول زيرمجموعه اي از اعداد صحيح  و مثبت  است  كه از 2 آغاز مي شود:   2و 3و 5و 7و 11و 13و 17و 19و 23و  ...  الي بي نهايت.   عدد اول  بر هيچ عددي جز 1 و خودش قابل قسمت نيست. به بيان ديگر، عددي اول است كه جز 1 و خودش هيچ عدد ديگري در آن نگنجد. مثلا  15 يك عدد اول نيست زيرا اعداد 1 و 3 و 5 و 15 در آن مي گنجند.

قضيه بنيادي حساب :  هر عدد بزرگتر از 1 حاصلضربِ يگانه اي از اعداد اول است.  مثال:  

بعبارتي ديگر اعداد اول عنصرهائي  است كه از ضرب آنها در يكديگر همه اعداد ساخته مي شود .  نقش  بنيادي و اساسي اعداد اول مانند نقش حروف الفبا  براي ساختن كلمات و  نقش اتم ها  براي ساخت مولكولها است.  در اينجا يادآور مي شود كه حدود 270 سال قبل، در سال 1742 كريستيان گلدباخ آلماني نوشت

هر عدد زوج بزرگتر از 2 را مي توان از جمع دو عدد اول بدست آورد.

حدس گلدباخ يا  Goldbach Conjecture،  در سه قرن اخير اثبات يا رد نشده  و كوششهاي جهاني براي اثبات يا رد آن ادامه دارد.

قضيه  1:    اگر عددي در دو عدد ديگر بگنجد، در تفاضل آنها نيز ميگنجد.  مثال: عدد 3 در دو عدد 6 و 15 مي گنجد. در نتيجه در تفاضل ايندو يعني  9 نيز مي گنجد.

 روش اقليدس براي اثبات نامتناهي بودن اعداد اول:   

 اقليدس  در 2300 سال قبل، با روش برهان خلف  اثبات كرد كه تعداد اعداد اول بينهايت است.  در روش برهان خلف  كارمان را با يك فرض آغاز مي كنيم و بعد با عمليات و استدلال هاي حساب كارميكنيم  و اگر به تناقض برخورد كنيم  آن فرض  اوليه نقض شده و خلاف آن فرض را مي پذيريم.

فرض كنيم  ليست يا مجموعه اعداد اول يك مجموعه متناهي و شامل  n  عدد اول   p1, p2, p3, ..., pn  باشد.  نشان خواهيم داد كه  اعداد اول ديگري وجود دارند كه در اين مجموعه نيستند  و چون با فرض ما تناقض دارد لذا مجموعه اعداد اول يك مجموعه نامتناهي است.  باين منظور

 با افزودن 1 به  حاصلضرب همه اعداد اول مجموعه،  عدد ديگري بدست مي آيد كه  Q مي ناميم:    Q = p1.p2.p3.p4  ...   pn + 1  

Q جزو مجموعه نيست  و بر هيچيك از اعداد مجموعه  نيز قابل قسمت نيست .

عدد  Q  از دو حالت خارج نيست

       اگر  اول باشد،  عدد اولي يافته ايم كه جزو  مجموعه نيست و در اينحالت فرض ما در باره متناهي بودن مجموعه اعداد اول نقض مي شود

       اگر اول نباشد، آنگاه  بايد به عدد اولي  كه a  مي ناميم  قابل تقسيم باشد ولي اين a نمي تواند  يكي از اعداد مجموعه باشد زيرا در آنصورت  هم  در Q = p1.p2.p3.p4  ...   pn + 1  مي گنجد و هم در  p1.p2.p3.p4  ...   pn و بنا به قضيه 1 بالا، بايد در تفاضل آنها يعني 1 نيز بگنجد كه ناممكن است و در اينحالت نيز فرض ما در باره متناهي بودن مجموعه اعداداول نقض مي شود

پس خلاف فرض اوليه را مي پذيريم، يعني :

مجموعه اعداد اول نامتناهي است

روش اويلر براي اثبات نامتناهي بودن اعداد اول:  

روش لئونارد اويلر  رياضيدان سويسي براي اثبات نامتناهي بودن اعداد اول مبتني بر قضيه بنيادي حساب  است كه در بالا بيان شد.

اگر مجموعه اعداد اول را با P  و هر يك از اعداد اول را با p و هر يك از اعداد طبيعي را با n نشان دهيم،  اويلر چنين فشرده و پر معنا نوشت :

كه در آن Π به معناي حاصلضرب است و Σ به معناي حاصلجمع است.  فرمول اويلر دشوار نيست و با توجه به بسط آن در زير روشنتر مي شود.

اگر عبارت سمت راست و سمت چپ آنرا بسط دهيم باين شكل ساده تر در مي آيد كه بطور كلي ديده مي شود حاصلضرب هاي سمت چپ مساوي است با حاصلجمع هاي سمت راست. در سمت راست از همه اعداد صحيح مثبت استفاده شده و در سمت چپ از همه اعداد اول.

حاصلجمع سمت راست معادله  كه سري هارمونيك نام دارد بينهايت  است و در نتيجه سمت چپ نيز بينهايت  خواهد بود. ولي چون يكايك كسرهائي كه در هم ضرب مي شوند مقادير معيني ميباشند پس بايد تعداد كسرها  بينهايت باشد تا حاصلضربشان بينهايت گردد و چون هر جزء داراي يك عدد اول است پس تعداد اعداد اول نيز بينهايت خواهد بود